【用一张长20cm宽10cm的长方形纸卷成尽可能大的圆筒当高是20】在实际生活中，我们常常会遇到如何利用一张长方形纸张制作一个尽可能大的圆筒的问题。这种问题涉及到几何知识和空间思维，尤其在包装、手工制作等领域有广泛应用。本文将围绕“用一张长20cm宽10cm的长方形纸卷成尽可能大的圆筒，当高是20cm时”的情况，进行分析与总结。
一、问题解析
题目要求使用一张长20cm、宽10cm的长方形纸，卷成一个圆筒，并且该圆筒的高为20cm。我们需要确定在这种情况下，如何使圆筒的体积最大。
关键点：
- 纸张尺寸：长20cm，宽10cm
- 圆筒高度：20cm（即纸张的长度方向）
- 卷法：将纸张的一边作为圆筒的侧面，另一边形成底面周长
二、卷法分析
根据题意，当圆筒的高度为20cm时，意味着我们将长方形纸张的长边作为圆筒的高度。因此，纸张的宽边（10cm）将被卷成圆筒的底面周长。
此时，圆筒的底面周长为10cm，由此可以计算出底面半径：
$$
C = 2\pi r \Rightarrow r = \frac{C}{2\pi} = \frac{10}{2\pi} = \frac{5}{\pi}
$$
接下来，我们可以计算圆筒的体积：
$$
V = \pi r^2 h = \pi \left(\frac{5}{\pi}\right)^2 \times 20 = \pi \times \frac{25}{\pi^2} \times 20 = \frac{500}{\pi}
$$
三、对比其他可能卷法
为了确保这是最大的体积，我们也可以尝试另一种卷法：将纸张的宽边（10cm）作为高度，而长边（20cm）作为底面周长。
此时，底面周长为20cm，半径为：
$$
r = \frac{20}{2\pi} = \frac{10}{\pi}
$$
体积为：
$$
V = \pi r^2 h = \pi \left(\frac{10}{\pi}\right)^2 \times 10 = \pi \times \frac{100}{\pi^2} \times 10 = \frac{1000}{\pi}
$$
显然，这种卷法得到的体积更大，但题目明确指出“当高是20cm”，因此这种方案不符合题意。
四、结论总结
| 项目 | 内容说明 |
| 纸张尺寸 | 长20cm，宽10cm |
| 圆筒高度 | 20cm（由纸张长边决定） |
| 底面周长 | 10cm（由纸张宽边决定） |
| 底面半径 | $ r = \frac{5}{\pi} $ cm |
| 圆筒体积 | $ V = \frac{500}{\pi} $ cm³ ≈ 159.15 cm³ |
| 最大体积条件 | 当高度为20cm时，卷法固定，无法再优化 |
五、总结
在题目设定下，当圆筒的高度必须为20cm时，只能选择将长方形纸张的长边作为高度，宽边作为底面周长。这种卷法虽然不是所有情况下的最大体积，但在给定条件下是唯一可行的方案。通过数学计算可以得出该圆筒的最大体积约为159.15立方厘米。
因此，在满足“高为20cm”的前提下，用这张纸卷成的圆筒体积是固定的，无法进一步优化。
