【为什么正交矩阵的特征值是正1或1】正交矩阵是线性代数中一个重要的概念，在数学、物理和工程中都有广泛应用。它的一个重要性质是其特征值只能是1或-1，这一结论虽然看似简单，但背后有着深刻的数学原理。以下是对这一问题的总结与分析。

一、正交矩阵的定义

一个实矩阵 $ Q $ 被称为正交矩阵，如果满足：

$$

Q^T Q = I

$$

其中，$ Q^T $ 是 $ Q $ 的转置矩阵，$ I $ 是单位矩阵。这意味着正交矩阵的列向量（或行向量）构成一组标准正交基。

二、正交矩阵的特征值性质

设 $ \lambda $ 是正交矩阵 $ Q $ 的一个特征值，对应的特征向量为 $ v $，即：

$$

Qv = \lambda v

$$

对两边同时取模长平方，得到：

$$

\Qv\^2 = \\lambda v\^2

$$

由于 $ Q $ 是正交矩阵，它保持向量的长度不变，因此：

$$

\Qv\ = \v\

$$

所以：

$$

\\lambda v\ = \lambda \cdot \v\ = \v\

$$

由此可得：

$$

$$

这说明正交矩阵的特征值的模长必须为1，即特征值只能是 1 或 -1。

三、总结

正交矩阵的特征值只能是 1 或 -1，这是因为正交矩阵保持向量的长度不变，从而导致其特征值的模长为1。这种性质使得正交矩阵在旋转、反射等几何变换中具有特殊的意义。

四、表格总结

通过以上分析可以看出，正交矩阵的特征值之所以只能是1或-1，是基于其保持向量长度的几何特性。这一性质不仅在理论上有重要意义，在实际应用中也具有广泛的指导作用。