【对勾函数最大值和最小值公式】在数学中，对勾函数是一种常见的非线性函数形式，通常表示为 $ f(x) = ax + \frac{b}{x} $（其中 $ a > 0, b > 0 $），其图像呈现出“对勾”形状，因此得名。这类函数在实际应用中广泛存在，如经济学中的成本与收益分析、物理中的能量分布等。了解其最大值和最小值是研究该函数性质的重要环节。
一、对勾函数的基本性质
- 定义域：$ x \neq 0 $
- 奇偶性：不是奇函数也不是偶函数
- 单调性：
- 当 $ x > 0 $ 时，函数在 $ x = \sqrt{\frac{b}{a}} $ 处取得极小值；
- 当 $ x < 0 $ 时，函数在 $ x = -\sqrt{\frac{b}{a}} $ 处取得极大值。
- 极值点：通过求导可得极值点为 $ x = \pm \sqrt{\frac{b}{a}} $
二、最大值与最小值的计算公式
对于函数 $ f(x) = ax + \frac{b}{x} $，其在定义域内的最大值和最小值如下：
| 极值类型 | 对应的x值 | 极值大小 |
| 最小值 | $ x = \sqrt{\frac{b}{a}} $ | $ 2\sqrt{ab} $ |
| 最大值 | $ x = -\sqrt{\frac{b}{a}} $ | $ -2\sqrt{ab} $ |
说明：
- 当 $ x > 0 $ 时，函数有最小值 $ 2\sqrt{ab} $，没有最大值（趋向于正无穷）；
- 当 $ x < 0 $ 时，函数有最大值 $ -2\sqrt{ab} $，没有最小值（趋向于负无穷）。
三、总结
对勾函数 $ f(x) = ax + \frac{b}{x} $ 是一种具有对称性的函数，其极值出现在 $ x = \pm \sqrt{\frac{b}{a}} $ 处。根据函数的定义域和符号变化，可以确定其最小值和最大值分别为：
- 最小值：$ 2\sqrt{ab} $（当 $ x > 0 $）
- 最大值：$ -2\sqrt{ab} $（当 $ x < 0 $）
这一结论不仅适用于理论分析，也常用于实际问题中优化资源分配、控制成本等场景。
表格总结：
| 项目 | 内容 |
| 函数形式 | $ f(x) = ax + \frac{b}{x} $ |
| 定义域 | $ x \neq 0 $ |
| 极值点 | $ x = \pm \sqrt{\frac{b}{a}} $ |
| 最小值 | $ 2\sqrt{ab} $（当 $ x > 0 $） |
| 最大值 | $ -2\sqrt{ab} $（当 $ x < 0 $） |
通过对勾函数的最大值和最小值公式的掌握，能够更深入地理解其图像特征与实际意义，为后续的数学建模和应用提供基础支持。
