在高中数学的学习过程中，概率论与统计学是不可或缺的一部分，而数学期望和方差则是其中的核心概念之一。它们不仅用于描述随机变量的集中趋势和离散程度，还广泛应用于实际问题中。本文将系统地整理并总结高中阶段涉及的所有数学期望和方差的相关公式。
一、数学期望的基本公式
数学期望（Expected Value）通常记作 \(E(X)\)，表示随机变量 \(X\) 的平均值或中心位置。以下是几种常见分布类型的数学期望公式：
1. 离散型随机变量
设离散型随机变量 \(X\) 的可能取值为 \(x_1, x_2, \dots, x_n\)，对应的概率分别为 \(p_1, p_2, \dots, p_n\)，则其数学期望为：
\[
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i
\]
2. 连续型随机变量
设连续型随机变量 \(X\) 的概率密度函数为 \(f(x)\)，则其数学期望为：
\[
E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot f(x) \, dx
\]
3. 常见分布的数学期望
- 二项分布：若 \(X \sim B(n, p)\)，则 \(E(X) = n \cdot p\)
- 泊松分布：若 \(X \sim P(\lambda)\)，则 \(E(X) = \lambda\)
- 均匀分布：若 \(X \sim U(a, b)\)，则 \(E(X) = \frac{a+b}{2}\)
二、方差的基本公式
方差（Variance）用来衡量随机变量与其数学期望之间的偏离程度，记作 \(D(X)\) 或 \(\text{Var}(X)\)。其定义如下：
\[
D(X) = E[(X - E(X))^2]
\]
展开后可得简化形式：
\[
D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
\]
1. 方差的计算方法
对于离散型随机变量，方差的具体表达式为：
\[
D(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 \cdot p_i
\]
对于连续型随机变量，则为：
\[
D(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} (x - E(X))^2 \cdot f(x) \, dx
\]
2. 常见分布的方差
- 二项分布：若 \(X \sim B(n, p)\)，则 \(D(X) = n \cdot p \cdot (1-p)\)
- 泊松分布：若 \(X \sim P(\lambda)\)，则 \(D(X) = \lambda\)
- 均匀分布：若 \(X \sim U(a, b)\)，则 \(D(X) = \frac{(b-a)^2}{12}\)
三、常用性质与推导技巧
为了更好地理解和应用上述公式，掌握一些基本性质非常重要：
1. 线性性质：对于任意常数 \(a, b\) 和随机变量 \(X, Y\)，有
\[
E(aX + bY) = a \cdot E(X) + b \cdot E(Y)
\]
\[
D(aX + bY) = a^2 \cdot D(X) + b^2 \cdot D(Y)
\]
2. 独立性条件下的简化：当 \(X\) 和 \(Y\) 相互独立时，
\[
D(X+Y) = D(X) + D(Y)
\]
3. 标准化变换：通过标准化处理，可以方便地比较不同尺度的数据分布。
四、实例分析
假设某班级学生的考试成绩服从正态分布 \(N(75, 9)\)，即均值为 75 分，标准差为 3 分。求该班级学生分数的数学期望和方差。
解：根据题目条件，已知 \(E(X) = 75\)，\(D(X) = 9\)。因此，数学期望为 75 分，方差为 9。
五、总结
通过以上系统的梳理，我们可以清晰地看到数学期望和方差在不同场景下的应用及其背后的逻辑关系。掌握这些基础公式和性质，不仅能帮助我们解决具体的数学问题，还能培养我们的逻辑思维能力和数据分析能力。希望本文能为大家提供有益的帮助！
