【一道定积分简单计算题】在数学学习过程中，定积分是一个重要的知识点，尤其在高等数学中有着广泛的应用。本文将围绕一道简单的定积分题目进行分析和解答，旨在帮助读者更好地理解定积分的基本概念与计算方法。
一、题目
计算以下定积分：
$$
\int_{1}^{2} (3x^2 - 2x + 1) \, dx
$$
二、解题思路
该定积分的被积函数为多项式函数，因此可以直接利用定积分的基本性质进行计算。具体步骤如下：
1. 求原函数：对被积函数分别积分；
2. 代入上下限：使用牛顿-莱布尼茨公式（即定积分的计算公式）；
3. 计算结果：得到最终数值答案。
三、计算过程
步骤一：求原函数
对 $ 3x^2 - 2x + 1 $ 进行积分：
$$
\int (3x^2 - 2x + 1) \, dx = x^3 - x^2 + x + C
$$
其中，$ C $ 为积分常数，但在定积分中可以忽略。
步骤二：代入上下限
根据定积分的定义：
$$
\int_{1}^{2} (3x^2 - 2x + 1) \, dx = \left[ x^3 - x^2 + x \right]_1^2
$$
分别计算上界和下界的值：
- 当 $ x = 2 $ 时：
$$
2^3 - 2^2 + 2 = 8 - 4 + 2 = 6
$$
- 当 $ x = 1 $ 时：
$$
1^3 - 1^2 + 1 = 1 - 1 + 1 = 1
$$
步骤三：计算结果
$$
6 - 1 = 5
$$
四、答案总结
| 题目 | 计算结果 |
| $\int_{1}^{2} (3x^2 - 2x + 1) \, dx$ | 5 |
五、小结
通过上述步骤可以看出，定积分的计算虽然看似复杂，但只要掌握基本的积分规则和代入方法，就可以轻松解决。本题中的多项式函数因其结构简单，使得计算过程较为直接，适合初学者练习。
希望本篇文章能帮助你更好地理解和掌握定积分的基本运算方法。
