【常用转动惯量公式】在物理学中，转动惯量是物体绕某一轴旋转时所具有的惯性大小的度量。它类似于平动中的质量，但与物体的质量分布和转轴位置密切相关。不同形状的物体，其转动惯量的计算公式也各不相同。以下是对常见物体转动惯量公式的总结。
一、基本概念
转动惯量（Moment of Inertia）通常用符号 $ I $ 表示，单位为 $ \text{kg} \cdot \text{m}^2 $。对于刚体，转动惯量的计算公式为：
$$
I = \sum m_i r_i^2
$$
其中 $ m_i $ 是质点的质量，$ r_i $ 是该质点到转轴的距离。对于连续物体，则使用积分形式：
$$
I = \int r^2 \, dm
$$
二、常用转动惯量公式汇总
以下是几种常见几何形状的物体，关于通过其质心或特定轴的转动惯量公式：
| 物体形状 | 转轴位置 | 转动惯量公式 | 说明 |
| 均匀细杆 | 经过中心且垂直于杆 | $ I = \frac{1}{12} m L^2 $ | L 为杆长 |
| 均匀细杆 | 经过一端且垂直于杆 | $ I = \frac{1}{3} m L^2 $ | L 为杆长 |
| 均匀圆环 | 通过中心且垂直于环面 | $ I = m R^2 $ | R 为环半径 |
| 均匀圆盘 | 通过中心且垂直于盘面 | $ I = \frac{1}{2} m R^2 $ | R 为盘半径 |
| 实心球体 | 通过球心 | $ I = \frac{2}{5} m R^2 $ | R 为球半径 |
| 空心球壳 | 通过球心 | $ I = \frac{2}{3} m R^2 $ | R 为球半径 |
| 长方体 | 经过中心且垂直于面 | $ I = \frac{1}{12} m (a^2 + b^2) $ | a、b 为边长 |
| 圆柱体 | 通过中心轴 | $ I = \frac{1}{2} m R^2 $ | R 为底面半径 |
三、注意事项
- 转动惯量依赖于转轴的位置，同一物体绕不同轴的转动惯量可能不同。
- 若转轴不通过物体的质心，则需应用平行轴定理：
$$
I = I_{\text{cm}} + m d^2
$$
其中 $ I_{\text{cm}} $ 是通过质心的转动惯量，$ d $ 是转轴到质心的距离。
四、小结
转动惯量是研究刚体旋转运动的重要物理量，不同形状的物体具有不同的转动惯量表达式。掌握这些公式有助于分析实际问题，如飞轮设计、陀螺仪原理等。在实际应用中，还需注意转轴的位置以及是否使用平行轴定理进行修正。
