【节约里程法例题及详解】节约里程法（Savings Algorithm）是一种用于优化配送路径的算法，常用于物流与运输管理中。该方法通过计算不同客户之间的“节约里程”，从而确定最优的配送路线，以减少总行驶距离，提高运输效率。
以下是一个典型的节约里程法例题及其详细解答过程。
一、例题背景
某物流公司需要从仓库出发，向5个客户点（A、B、C、D、E）进行配送。已知各客户之间的距离如下表所示（单位：公里）：
| A | B | C | D | E | |
| A | 0 | 10 | 12 | 18 | 20 |
| B | 10 | 0 | 15 | 14 | 16 |
| C | 12 | 15 | 0 | 13 | 17 |
| D | 18 | 14 | 13 | 0 | 19 |
| E | 20 | 16 | 17 | 19 | 0 |
假设所有客户都只能由一辆车单独访问，且车辆从仓库出发并返回仓库。请使用节约里程法，找出最优的配送路线。
二、解题步骤
1. 计算每个客户对之间的节约里程
节约里程公式为：
$$
S_{ij} = d_{i0} + d_{j0} - d_{ij}
$$
其中：
- $d_{i0}$ 表示客户i到仓库的距离；
- $d_{j0}$ 表示客户j到仓库的距离；
- $d_{ij}$ 表示客户i到客户j的距离。
由于题目中没有给出仓库到客户的距离，我们假设仓库到各客户的距离等于客户到仓库的距离（即对称情况）。因此，我们可以直接使用表格中的数据进行计算。
例如，计算客户A和客户B之间的节约里程：
$$
S_{AB} = d_{A0} + d_{B0} - d_{AB} = 10 + 10 - 10 = 10
$$
同理，计算其他客户对之间的节约里程，并按降序排列。
2. 构建节约里程表
以下是各客户对之间的节约里程计算结果：
| 客户对 | 节约里程 |
| A-B | 10 |
| A-C | 12 |
| A-D | 18 |
| A-E | 20 |
| B-C | 15 |
| B-D | 14 |
| B-E | 16 |
| C-D | 13 |
| C-E | 17 |
| D-E | 19 |
按节约里程从高到低排序：
| 排序 | 客户对 | 节约里程 |
| 1 | A-E | 20 |
| 2 | D-E | 19 |
| 3 | A-D | 18 |
| 4 | C-E | 17 |
| 5 | B-E | 16 |
| 6 | B-C | 15 |
| 7 | B-D | 14 |
| 8 | C-D | 13 |
| 9 | A-C | 12 |
| 10 | A-B | 10 |
3. 构建初始路线
初始时，每条路线只包含一个客户，如：
- 路线1：仓库 → A → 仓库
- 路线2：仓库 → B → 仓库
- 路线3：仓库 → C → 仓库
- 路线4：仓库 → D → 仓库
- 路线5：仓库 → E → 仓库
4. 合并路线
按照节约里程从高到低依次尝试合并路线，前提是两个客户不在同一辆车上。
- 合并A-E：节约里程20，合并后路线为：仓库 → A → E → 仓库
- 合并D-E：D和E已在同一辆车中，不合并
- 合并A-D：A和D不在同一辆车中，合并后路线为：仓库 → A → D → E → 仓库
- 合并C-E：C和E不在同一辆车中，合并后路线为：仓库 → A → D → E → C → 仓库
- 合并B-E：B和E不在同一辆车中，合并后路线为：仓库 → A → D → E → C → B → 仓库
- 继续检查剩余客户对，但此时所有客户均已合并至一条路线中。
三、最终配送路线
根据上述过程，最优的配送路线为：
仓库 → A → D → E → C → B → 仓库
四、总结
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 计算客户对之间的节约里程 |
| 2 | 按节约里程从高到低排序 |
| 3 | 初始路线为每客户单独配送 |
| 4 | 依次合并节约里程高的客户对 |
| 5 | 最终得到一条包含所有客户的配送路线 |
通过节约里程法，可以有效减少车辆行驶距离，提升物流效率。本例中，最优路线为：仓库 → A → D → E → C → B → 仓库，总节约里程为20+18+17+16=71公里。
注：本例基于简化模型，实际应用中还需考虑时间窗口、车辆容量等限制条件。
